Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe/Lösung

1. Eine Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

   heißt assoziativ, wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die Gleichheit

   ${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$

   gilt.

2. Man nennt

   ${}\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$

   den Kern von ${}\varphi$.

3. Unter dem Homomorphismenraum versteht man

   ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}={\left\{f:V\rightarrow W\mid f{\text{ lineare Abbildung}}\right\}}\,,$

   versehen mit der Addition, die durch

   ${}(f+g)(v):=f(v)+g(v)\,$

   definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch

   ${}(\lambda f)(v):=\lambda \cdot f(v)\,$

   definiert wird.

4. Zu einer Familie von Elementen ${}a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in R$ in einem kommutativen Ring ${}R$ bezeichnet ${}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ das von diesen Elementen erzeugte Ideal. Es besteht aus allen Linearkombinationen

   $r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n},$

   wobei ${}r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\in R$ sind.

5. Die Abbildung

   $\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$

   heißt alternierend, wenn ${}\Phi$ multilinear ist und wenn folgendes gilt: falls in ${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also ${}v_{i}=v_{j}$ für ein Paar ${}i\neq j$, so ist

   ${}\Phi (v)=0\,.$

6. Den Exponenten des linearen Polynoms ${}X-\lambda$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{\varphi }$ nennt man die algebraische Vielfachheit von ${}\lambda$.

Zur gelösten Aufgabe