Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit endlicher Dimension ${}n=\operatorname {dim} _{}\left(V\right)$. Für ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ sind folgende Eigenschaften äquivalent.
   1. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$.
   2. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$.
   3. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gibt es genau eine Determinantenfunktion

   $\triangle \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K$

   mit ${}\triangle (e_{1},\,e_{2},\ldots ,e_{n})=1$, wobei ${}e_{i}$ die Standardvektoren sind, nämlich die

   Determinante.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über den Vektorräumen ${}V$ bzw. ${}W$. Es sei ${}P_{i}$, ${}i\in I$, eine affine Basis von ${}E$ und ${}Q_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Punkten in ${}F$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung

   $\psi \colon E\longrightarrow F$

   mit

   ${}\psi (P_{i})=Q_{i}\,$

   für alle ${}i\in I$.