Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Eine Abbildung

   $\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$

   heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle ${}v,w\in V$ gelten.

   1. ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$,
   2. ${}\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.
   3. Für ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$ und ${}v\in V$ gilt

      ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

   4. Für ${}v,w\in V$ gilt

      ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

2. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   heißt Isometrie, wenn für alle ${}v,w\in V$ gilt:

   ${}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$

3. Ein reeller Vektorraum der Dimension ${}n$ mit einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(n-1,1)$ heißt Minkowski-Raum.
4. Die Äquivalenzklasse zu ${}x$ ist die Menge

   ${}[x]={\left\{y\in M\mid y\sim x\right\}}\,.$

5. Zwei Basen ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ heißen orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.
6. Eine reelle quadratische Matrix

   ${}M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$

   heißt spaltenstochastisch, wenn alle Einträge

   ${}a_{ij}\geq 0\,$

   sind und für jede Spaltensumme (also jedes ${}j$)

   ${}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}=1\,$

   gilt.

Zur gelösten Aufgabe