Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung


  1. In einem Dreieck mit den Seitenlängen und dem Winkel an gilt
  2. Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

    ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann gibt es eine Orthonormalbasis von aus Eigenvektoren

    zu .
  3. Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

    ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

    1. ist stabil.
    2. Zu jedem ist die Folge , , beschränkt.
    3. Es gibt ein Erzeugendensystem derart, dass , , beschränkt ist.
    4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ist kleiner oder gleich und die Eigenwerte mit Betrag sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
    5. Für eine beschreibende Matrix von , aufgefasst über , sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich

      mit oder gleich mit .