Lineare Gleichung/Von einer zu mehreren Variablen/Einführung/Textabschnitt

Die „Mutter aller linearen Gleichungssysteme“ ist eine einzige lineare Gleichung in einer Variablen der Form

${}ax=b\,$

mit gegebenen Elementen ${}a,b$ aus einem Körper ${}K$ und gesuchtem ${}x$. Schon hier zeigen sich drei Möglichkeiten, wie die Lösung aussehen kann. Bei ${}a\neq 0$ kann man die Gleichung mit dem Inversen von ${}a$ in ${}K$, also mit ${}a^{-1}$, multiplizieren und erhält als eindeutige Lösung

${}x=ba^{-1}={\frac {b}{a}}\,.$

Rechnerisch kann man also die Lösung erhalten, wenn man inverse Elemente bestimmen und mit ihnen multiplizieren kann. Bei ${}a=0$ hängt das Lösungsverhalten von ${}b$ ab. Bei ${}b=0$ ist jedes ${}x\in K$ eine Lösung, bei ${}b\neq 0$ gibt es keine Lösung. Wir untersuchen nun die entsprechende Situation, wenn es mehr als eine Variable gibt.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$. Dann nennt man

${}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\,$

eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ zu den Koeffizienten ${}a_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n$. Ein Tupel ${}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung der linearen Gleichung, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\xi _{j}=0$ ist.

Wenn ${}c\in K$ ein weiteres Element ist, so heißt

${}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=c\,$

eine inhomogene lineare Gleichung und ein Tupel ${}(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung der inhomogenen linearen Gleichung, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\zeta _{j}=c$ ist.

Statt von Koeffizienten spricht man auch von Parametern der Gleichung. Da die Lösungen im Produktraum ${}K^{n}$ liegen, sollte man sich von Anfang an um eine geometrische Deutung der Situation bemühen. Bei ${}n=2$ liegen die Lösungspunkte in der Ebene, bei ${}n=3$ im Raum. Einfache Beispiele wie das folgende zeigen aber auch, dass es künstlich wäre, die Anzahl der Variablen auf ${}3$ zu beschränken, um eine geometrische Vorstellbarkeit zu sichern.

Beispiel

Lucy Sonnenschein befindet sich an einem Obststand und möchte für ${}10$ Euro Obst kaufen. Dabei kosten (jeweils pro hundert Gramm) die Kirschen ${}0{,}50$ Euro, die Heidelbeeren ${}1{,}20$ Euro, die Himbeeren ${}0{,}90$ Euro und die Trauben ${}0{,}60$ Euro. Ein Einkauf wird durch ein Tupel ${}(x,y,z,w)$ repräsentiert, wobei sich die einzelnen Zahlen auf die gekaufte Menge (in hundert Gramm) der Obstsorten bezieht. Der Einkaufspreis ist somit

$0{,}5\cdot x+1{,}2\cdot y+0{,}9\cdot z+0{,}6\cdot w$

und die Bedingung, genau ${}10$ Euro auszugeben, führt auf die Gleichung

${}0{,}5\cdot x+1{,}2\cdot y+0{,}9\cdot z+0{,}6\cdot w=10\,$

bzw. in Brüchen

${}{\frac {1}{2}}\cdot x+{\frac {6}{5}}\cdot y+{\frac {9}{10}}\cdot z+{\frac {3}{5}}\cdot w=10\,.$

Es gibt hier sehr viele Lösungen. Sie kann beispielsweise nur Kirschen kaufen, dann wären das ${}20$ Einheiten von den Kirschen und ${}0$ von den anderen Sorten. Als Tupel geschrieben ist diese Lösung ${}(20,0,0,0)$. Oder sie könnte für jede Sorte gleich viel, nämlich ${}2{,}50$ Euro, ausgeben wollen, das würde das Lösungstupel ${}\left(5,\,{\frac {25}{12}},\,{\frac {25}{9}},\,{\frac {25}{6}}\right)$ ergeben. Oder sie möchte von jeder Sorte gleich viel kaufen. Dann wäre ${}x=y=z=w$ und es ergibt sich die Bedingung

${}{\left({\frac {1}{2}}+{\frac {6}{5}}+{\frac {9}{10}}+{\frac {3}{5}}\right)}x={\frac {32}{10}}x=10\,,$

also

${}x={\frac {100}{32}}={\frac {25}{8}}\,$

und das Lösungstupel ${}\left({\frac {25}{8}},\,{\frac {25}{8}},\,{\frac {25}{8}},\,{\frac {25}{8}}\right)$. Die entscheidende Beobachtung an der Situation ist, dass man sich (zumindest, wenn man auch negative Zahlen zulässt) ${}(x,y,z)$ frei vorgeben darf und dass dadurch der Wert ${}w$ über

${}w={\frac {5}{3}}{\left(10-{\frac {1}{2}}\cdot x+{\frac {6}{5}}\cdot y+{\frac {9}{10}}\cdot z\right)}\,$

bestimmt ist.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und

${}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=c\,$

eine lineare Gleichung über ${}K$ in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$. Es sei ${}a_{1}\neq 0$.

Dann steht die Lösungsmenge ${}L$ der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum ${}K^{n-1}$, und zwar über die Abbildungen

$L\longrightarrow K^{n-1},\,\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$

und

$K^{n-1}\longrightarrow L,\,\left(x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left({\frac {1}{a_{1}}}{\left(c-a_{2}x_{2}-\cdots -a_{n}x_{n}\right)},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right).$

Beweis

Wenn ${}\left(x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ fixiert ist, so gibt es genau eine Möglichkeit für ${}x_{1}$, die lineare Gleichung zu erfüllen, nämlich

${}x_{1}={\frac {1}{a_{1}}}{\left(c-a_{2}x_{2}-\cdots -a_{n}x_{n}\right)}\,.$

$\Box$

Eine entsprechende Aussage gilt an jeder Stelle mit ${}a_{i}\neq 0$, die übrigen Einträge legen dann ${}x_{i}$ fest. Die Lösungsmenge notiert man als

${}L={\left\{\left({\frac {1}{a_{1}}}{\left(c-a_{2}x_{2}-\cdots -a_{n}x_{n}\right)},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\mid x_{2},\ldots ,x_{n}\in K\right\}}\,.$

Die Variablen ${}x_{2},\ldots ,x_{n}$ treten in dieser Darstellung als freie Variablen auf, deren Werte frei vorgegeben werden dürfen, während dadurch der Wert für ${}x_{1}$ (abhängige Variable) eindeutig festgelegt wird.