Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/K/Lösungsraum hat Dimension/Fakt/Beweis

Beweis

Dass der Lösungsraum ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ist, kann man direkt nachrechnen. Aufgrund von Fakt bzw. Fakt gibt es zu jedem Vektor ${}w\in {\mathbb {K} }^{n}$ genau eine Lösung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n}$

mit

${}\varphi (0)=w\,.$

Die Zuordnung, die eine Lösung ${}\varphi$ der Differentialgleichung auf den Ortspunkt ${}\varphi (0)$ abbildet, ist linear, sodass eine lineare Isomorphie zwischen dem Lösungsraum und ${}{\mathbb {K} }^{n}$ vorliegt.

Zur bewiesenen Aussage