Lineares Differentialgleichungssystem/Trigonalgestalt/Sukzessive Lösbarkeit/Fakt

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und es liege eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung der Form

${}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}}\,$

mit stetigen Funktionen ${}a_{ij}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und ${}z_{i}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und den Anfangsbedingungen

$v_{i}(t_{0})=w_{i}\in \mathbb {R} {\text{ für }}i=1,\ldots ,n\,\,(t_{0}\in I)$

vor.

Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen, nämlich

$v_{n}'=a_{nn}(t)v_{n}+z_{n}(t){\text{ mit }}v_{n}(t_{0})=w_{n},$

$v_{n-1}'=a_{n-1\,n-1}(t)v_{n-1}+a_{n-1\,n}(t)v_{n}(t)+z_{n-1}(t){\text{ mit }}v_{n-1}(t_{0})=w_{n-1},$

$v_{n-2}'=a_{n-2\,n-2}(t)v_{n-2}+a_{n-2\,n-1}(t)v_{n-1}(t)+a_{n-2\,n}(t)v_{n}(t)+z_{n-2}(t){\text{ mit }}v_{n-2}(t_{0})=w_{n-2},$

$\vdots$

$v_{1}'=a_{11}(t)v_{1}+a_{12}(t)v_{2}(t)+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}(t)+z_{1}(t){\text{ mit }}v_{1}(t_{0})=w_{1},$

löst.

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