Lineares homogenes Differentialgleichungssystem/1 durch t t-1 0 2t durch t^2+1/Beispiel

Wir betrachten das homogene lineare Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}^{\prime }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{t}}&t-1\\0&{\frac {2t}{t^{2}+1}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

für ${}t>0$. Die zweite Zeile dieses Systems bedeutet

${}y'={\frac {2t}{t^{2}+1}}\cdot y\,,$

das ist eine homogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen. Ihre Lösungen sind gemäß Fakt gleich

${}y(t)=c{\left(t^{2}+1\right)}=ct^{2}+c\,$

mit einem ${}c\in \mathbb {R}$. Die erste Zeile des Systems führt daher auf

${}{\begin{aligned}x'&={\frac {1}{t}}x+(t-1)y\\&={\frac {1}{t}}x+c(t-1){\left(t^{2}+1\right)}\\&={\frac {1}{t}}x+c{\left(t^{3}-t^{2}+t-1\right)}.\end{aligned}}$

Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen. Die zugehörige homogene Gleichung ${}x'={\frac {1}{t}}x$ besitzt ${}t$ als eine Lösung. Nach Fakt müssen wir eine Stammfunktion von

${}c{\frac {t^{3}-t^{2}+t-1}{t}}=c{\left(t^{2}-t+1-{\frac {1}{t}}\right)}\,$

finden, eine solche ist

$c{\left({\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2}+t-\ln t\right)}+d.$

Daher ist

$t{\left(c{\left({\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2}+t-\ln t\right)}+d\right)}={\frac {c}{3}}t^{4}-{\frac {c}{2}}t^{3}+ct^{2}-ct\ln t+dt\,$

die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung. Also ist die allgemeine Lösung des Systems gleich

${\begin{pmatrix}{\frac {c}{3}}t^{4}-{\frac {c}{2}}t^{3}+ct^{2}-ct\ln t+dt\\ct^{2}+c\end{pmatrix}}.$