Linearformen/Gemeinsamer Kern ist 0/Erzeugendensystem/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}L_{1},\ldots ,L_{m}$ ein Erzeugendensystem von ${}{V}^{*}$. Wenn der Durchschnitt der Kerne nicht der Nullraum wäre, so gäbe es einen Vektor ${}v\in \bigcap _{i=1}^{m}\operatorname {kern} L_{i}$ mit ${}v\neq 0$. Nach Fakt gibt es eine Linearform ${}f$ mit ${}f(v)\neq 0$. Da die ${}L_{i}$ ein Erzeugendensystem sind, kann man aber

${}f=\sum _{i=1}^{m}a_{i}L_{i}\,$

schreiben, und dann erhält man den Widerspruch

${}f(v)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}L_{i}(v)=0\,.$

Es gelte nun

${}\bigcap _{i=1}^{m}\operatorname {kern} L_{i}=0\,,$

und sei ${}f$ eine beliebige Linearform. Wir betrachten die Produktabbildung

$L=L_{1}\times \cdots \times L_{m}\colon V\longrightarrow K^{m},\,v\longmapsto \left(L_{1}(v),\,\ldots ,\,L_{m}(v)\right).$

Nach Voraussetzung ist deren Kern gleich ${}0$. Daher ist wegen Fakt diese Abbildung injektiv und der Bildraum ${}L(V)$ ist ein Untervektorraum von ${}K^{m}$, der zu ${}V$ isomorph ist. Die Linearform ${}f$ kann man als eine Linearform auf ${}L(V)$ auffassen, die wir ${}{\tilde {f}}$ nennen. Es sei

${}W\subseteq K^{m}\,$

ein direktes Komplement von ${}L(V)$. Über die lineare Projektion ${}p_{\varphi (V)}$ kann man ${}{\tilde {f}}$ zu einer Linearform auf ${}K^{m}$ fortsetzen. Diese wird durch einen Zeilenvektor ${}\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{m}\right)$ beschrieben. Daher gilt

${}f=a_{1}L_{1}+\cdots +a_{m}L_{m}\,.$

Zur gelösten Aufgabe