Logarithmen/Exponentialfunktionen/Einführung/Textabschnitt
Zu einer positiven reellen Zahl definiert man die Exponentialfunktion zur Basis als
Es sei eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Exponentialfunktion
folgende Eigenschaften.
- Es ist für alle .
- Es ist .
- Für und ist .
- Für und ist .
- Für ist streng wachsend.
- Für ist streng fallend.
- Es ist für alle .
- Für ist .
Beweis
Die Exponentialfunktionen zur Basis kann man auch anders einführen. Für natürliche Zahlen nimmt man das -fache Produkt von mit sich selbst, also , als Definition. Für eine negative ganze Zahl setzt man . Für eine positive rationale Zahl setzt man
wobei man natürlich die Unabhängigkeit von der gewählten Bruchdarstellung beweisen muss. Für eine negative rationale Zahl arbeitet man wieder mit Inversen. Für eine beliebige reelle Zahl schließlich nimmt man eine Folge von rationalen Zahlen, die gegen konvergiert, und definiert
Hierzu muss man zeigen, dass diese Limiten existieren und unabhängig von der gewählten rationalen Folge sind. Für den Übergang von nach ist der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit entscheidend.
Zu einer positiven reellen Zahl , , wird der Logarithmus zur Basis von durch
definiert.
Die Logarithmen zur Basis erfüllen die folgenden Rechenregeln.
- Es ist und , das heißt der Logarithmus zur Basis ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis .
- Es gilt .
- Es gilt für .
- Es gilt