Logarithmus/Integration der Hyperbel/Funktionalgleichung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Substitution

{}y=bx\,

bzw.

{}x={\frac {1}{b}}y\,

Aus den Grenzen ${}1$ und ${}a$ werden dabei die Grenzen ${}b$ und ${}ab$ und es gilt

{}\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}dx=\int _{b}^{ab}{\frac {b}{y}}d{\frac {1}{b}}y=\int _{b}^{ab}{\frac {1}{y}}dy\,.

Somit ist

{}{\begin{aligned}\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}dx&=\int _{b}^{ab}{\frac {1}{x}}dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{x}}dx\\&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{x}}dx.\end{aligned}}