Lokale kommutative noethersche Ringe/Minimale Erzeugendenzahl des maximalen Ideals/Einführender Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein lokaler kommutativer noetherscher Ring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}$. Dann heißt die minimale Idealerzeugendenzahl für ${}{\mathfrak {m}}$ die Einbettungsdimension von ${}R$, geschrieben

$\operatorname {embdim} \,(R).$

Ein eindimensionaler lokaler Ring ist genau dann ein diskreter Bewertungsring, wenn seine Einbettunsdimension ${}1$ ist. Wir erwähnen, dass die Einbettungsdimension immer zumindest so groß ist wie die Dimension eines lokalen Ringes. Die Ringe, bei denen Gleichheit gilt, spielen eine besondere Rolle und heißen reguläre Ringe.

Wir sind der Einbettungsdimension schon im Fall von monomialen Kurven begegnet, und müssen zeigen, dass die dortige Definition mit der neuen verträglich ist.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt sei. Es sei ${}R=K[M]$ der zugehörige Monoidring mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {n}}=(M_{+})$ und der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {n}}$.

Dann ist die numerische Einbettungsdimension von ${}M$ (bzw. $K[M]$) gleich der Einbettungsdimension des lokalen Rings ${}R_{\mathfrak {n}}$.

Beweis

Es ist ${}{\mathfrak {n}}=(M_{+})=\bigoplus _{m\in M_{+}}K\,T^{m}$ und ${}{\mathfrak {n}}^{2}=(2M_{+})=\bigoplus _{m\in 2M_{+}}K\,T^{m}$. Der Restklassenraum ist daher

${}{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}=\bigoplus _{m\in M_{+}\setminus 2M_{+}}K\,T^{m}\,.$

Dessen ${}K$-Dimension ist also gleich der Anzahl der Elemente aus ${}M_{+}\setminus 2M_{+}$. Nach Fakt ist ${}M_{+}\setminus 2M_{+}$ das minimale Monoiderzeugendensystem von ${}M$, sodass die ${}K$-Dimension gleich der numerischen Einbettungsdimension ist.

Andererseits ist nach Fakt die ${}K$-Dimension von ${}{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}$ gleich der Einbettungsdimension des zugehörigen lokalen Rings ${}R_{\mathfrak {n}}$.

$\Box$