Lokaler Ring/Modul/Endlich erzeugt/Minimale Darstellung/Untermodul/Aufgabe

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul. Es sei

$\varphi \colon F\longrightarrow M$

ein surjektiver ${}R$-Modulhomomorphismus mit einem freien Modul ${}F$, wobei eine Basis auf ein minimales Erzeugendensystem abgebildet werde. Zeige, dass die Einschränkung von ${}\varphi$ auf einen echten Untermodul ${}U\subseteq F$ nicht surjektiv ist.

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