Lokaler Ring/Modul/Freie Auflösung/Minimal/Eindeutigkeit/Fakt

Es sei ${}R$ ein lokaler noetherscher Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul.

Dann ist die minimale freie Auflösung von ${}M$ im folgenden Sinne eindeutig bestimmt: Wenn

$\ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

und

$\ldots \longrightarrow G_{2}\longrightarrow G_{1}\longrightarrow G_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

minimale freie Auflösungen von ${}M$ sind, dann gibt es ${}R$-Modulisomorphismen

$\Psi _{i}\colon F_{i}\longrightarrow G_{i}$

derart, dass die Diagramme

${\begin{matrix}F_{i+1}&{\stackrel {\theta _{i}}{\longrightarrow }}&F_{i}&\\\!\!\!\!\!\Psi _{i+1}\downarrow &&\downarrow \Psi _{i}\!\!\!\!\!&\\G_{i+1}&{\stackrel {\theta _{i}'}{\longrightarrow }}&G_{i}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutieren.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen