Lokaler Ring/Modul/Freie Auflösung/Minimal/Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Wir konstruieren induktiv die ${}\Psi _{i}$, ${}i\in \mathbb {N}$. Für ${}i=0$ betrachten wir die Situation

${\begin{matrix}F_{0}&{\stackrel {\theta _{-1}}{\longrightarrow }}&M&\\\!\!\!\!\!?\downarrow &\nearrow \theta _{-1}'\!\!\!\!\!&\\G_{0}&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Wegen der Minimalität rühren beide Abbildungen von einem minimalen Modulerzeugendensystem der Länge ${}n$ von ${}M$ her, sagen wir

${}\theta _{-1}(e_{j})=u_{j}\,$

und

${}\theta _{-1}'(e_{j})=v_{j}\,.$

Es ist dann

${}\theta _{-1}(e_{j})=u_{j}=\sum _{i=1}^{n}r_{ij}v_{i}\,.$

Durch die Festlegung

${}\Psi _{0}(e_{j}):=\sum _{i=1}^{n}r_{ij}e_{i}\,$

erhält man dann einen ${}R$-Modulhomomorphismus von ${}F_{0}$ nach ${}G_{0}$, der mit den gegebenen Abbildungen kommutiert. Die Abbildung ist surjektiv, da andernfalls ein echter Untermodul von ${}G_{0}$ schon surjektiv auf ${}M$ abbildet würde, was der Minimalität von ${}G_{0}$ widerspricht (siehe Aufgabe). Dieser Isomorphismus führt somit auch die Kerne

${}M_{0}=\operatorname {kern} \theta _{-1}\,$

und

${}N_{0}=\operatorname {kern} \theta _{-1}'\,$

ineinander über. Es sei nun vorausgesetzt, dass die Isomorphismen ${}\Psi _{i}$ schon konstruiert sind und die Kerne ineinander überführen. Dann liegt die Situation

${\begin{matrix}F_{i+1}&{\stackrel {\theta _{i}}{\longrightarrow }}&M_{i}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&F_{i}&\\\!\!\!\!\!?\downarrow &&\!\!\!\!\!\Psi _{i}{|}_{M_{i}}\downarrow &&\downarrow \Psi _{i}\!\!\!\!\!&&\\G_{i+1}&{\stackrel {\theta _{i}'}{\longrightarrow }}&N_{i}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&G_{i}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, wobei das Quadrat rechts kommutiert. Sowohl ${}\theta _{i}$ als auch ${}\theta _{i}'$ rühren von einem minimalen Erzeugendensystem von ${}M_{i}$ bzw. ${}N_{i}$ her. Das im Wesentlichen gleiche Argument wie am Induktionsanfang zeigt, dass es einen Isomorphismus

$\Psi _{i+1}\colon F_{i+1}\longrightarrow G_{i+1}$

gibt, der die Kerne ineinander überführt.

Zur bewiesenen Aussage