Lokaler Ring/Modul/Freie Auflösung/Minimal/Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Wir konstruieren induktiv die , . Für betrachten wir die Situation

Wegen der Minimalität rühren beide Abbildungen von einem minimalen Modulerzeugendensystem der Länge von her, sagen wir

und

Es ist dann

Durch die Festlegung

erhält man dann einen -Modulhomomorphismus von nach , der mit den gegebenen Abbildungen kommutiert. Die Abbildung ist surjektiv, da andernfalls ein echter Untermodul von schon surjektiv auf abbildet würde, was der Minimalität von widerspricht (siehe Aufgabe). Dieser Isomorphismus führt somit auch die Kerne

und

ineinander über. Es sei nun vorausgesetzt, dass die Isomorphismen schon konstruiert sind und die Kerne ineinander überführen. Dann liegt die Situation

vor, wobei das Quadrat rechts kommutiert. Sowohl als auch rühren von einem minimalen Erzeugendensystem von bzw. her. Das im Wesentlichen gleiche Argument wie am Induktionsanfang zeigt, dass es einen Isomorphismus

gibt, der die Kerne ineinander überführt.