Hier haben wir eine typische Beweisaufgabe, in der mathematische Objekte mit speziellen Eigenschaften gegeben sind und daraus soll die Eigenschaft eines weiteren im Zusammenhang stehenden Objektes gezeigt werden. Konkret, wir haben eine stetige Abbildung 
und eine Funktion 
mit einem lokalen Extremum im Punkt 
. Jetzt soll gezeigt werden, dass das lokale Extremum erhalten bleibt, nachdem in eingesetzt wird. Dann aber, wegen der Verknüpfung, in dem Punkt 
, der durch zum ursprünglichen Punkt des lokalen Extremums "geschickt" wird.
Die Eigenschaft, dass stetig ist, ist dabei natürlich entscheidend.
Nehmen wir uns hierfür als Beispiel eine einfache reelle Funktion 
mit Ableitung 
. Diese hat ein lokales Minimum (dies ist kein globales Minimum, ein Plot der Funktion ist hilfreich) in 
mit Wert 
. Wählen wir nun
-
als eindeutig nicht stetige Funktion, sehen wir, dass diese in eingesetzt
-
ergibt. Diese Funktion hat gewiss kein lokales Extremum mehr in 
, dem Punkt der auf das lokale Extremum von geschickt wurde.
Zum Beweis der Aussage in der Aufgabenstellung sammlen wir die Eigenschaften.
Dass stetig ist, bedeutet, dass es in jedem Punkt stetig ist. Somit insbesondere im Punkt . Das wiederum heißt, für jedes 
existiert ein 
, sodass
-
Mit Worten, in einer Umbebung von bleiben wir nach Abbilden mit in einer Umgebung von .
Weiterhin hat die Funktion in ein
lokales Extremum
(wir nehmen ohne Einschränkung an, dass dies ein lokales Minimum ist, für ein Maximum geht das genau so),
d.h. es exisitert ein 
mit
-
Mit Worten, in einer Umgebung von ist der Funktionswert von immer größer oder gleich dem Funktionswert in selbst.
Jetzt ist die Frage, ob die Verknüpfung 
ein lokales Minimum in besitzt, also ein 
existiert mit
-
Es wäre also gut, wenn
garantiert, dass wir von
in
landen, denn dann nutzen dass
in
das lokale Minimum hat. Das erledigt die Stetigkeit von
. Wie kann
dann gewählt werden?
