Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/Test 3/Aufgabe/Lösung

1. Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$.
   2. Mit ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ und ${}S\subseteq T$ gehört auch ${}T\setminus S$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
   3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$, ${}i\in I$, mit paarweise disjunkten Mengen ${}T_{i}$ ist auch

      $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$

2. Eine Familie ${}{\mathcal {T}}$ von Teilmengen von ${}X$ heißt Topologie auf ${}X$, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
   1. Es ist ${}\emptyset \in {\mathcal {T}}$ und ${}X\in {\mathcal {T}}$.
   2. Sind ${}U\in {\mathcal {T}}$ und ${}V\in {\mathcal {T}}$, so ist auch ${}U\cap V\in {\mathcal {T}}$.
   3. Ist ${}I$ eine Indexmenge und ${}U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für alle ${}i\in I$, so ist auch ${}\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.
3. Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ mit ${}\mu (M)=1$.
4. Eine Folge von Teilmengen ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, in ${}M$ mit ${}T_{n}\subseteq T_{n+1}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ heißt Ausschöpfung von ${}M$, wenn ${}M=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ gilt.
5. Ein Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und alle Vektoren ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit

   ${}\mu (T)=\mu (T+v)\,$

   gilt.

6. Man nennt das für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq M$ durch

   ${}\nu (T):=\int _{T}g\,d\mu \,$

   definierte Maß auf ${}M$ das Maß zur Dichte ${}g$.

Zur gelösten Aufgabe