Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung


  1. Die Menge der Borel-Mengen im stimmt mit der von der Menge aller offenen Quader erzeugten -Algebra überein. Dabei kann man sich sogar auf die Menge der offenen achsenparallelen Quader mit rationalen Eckpunkten beschränken.
  2. Der sei mit der -Algebra der Borel-Mengen versehen. Dann gibt es auf genau ein (-endliches) Maß

    das für alle Quader

    den Wert

    besitzt.

    Die Aussage gilt auch für (achsenparallele)

    Quader mit offenen bzw. abgeschlossenen Intervallen als Seiten.
  3. Es seien reelle Zahlen mit

    und es sei ein Maßraum. Es seien

    messbare Funktionen, die - bzw. -integrierbar seien.

    Dann gilt