Maßraum/Minkowskische Ungleichung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}1<p<\infty$ , für die anderen Fälle siehe die Aufgaben. Wegen

{}\Vert {f+g}\Vert _{p}\leq \Vert {\vert {f}\vert +\vert {g}\vert }\Vert _{p}\,

können wir ${}f$ und ${}g$ als reellwertig und nichtnegativ annehmen. Es sei ${}q$ die durch die Bedingung

{}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,

bestimmte Zahl, also

{}q={\frac {p}{p-1}}\,.

Mit Fakt folgt

{}{\begin{aligned}\Vert {f+g}\Vert _{p}^{p}&=\int _{X}{\left(f+g\right)}^{p}d\mu \\&=\int _{X}f{\left(f+g\right)}^{p-1}+g{\left(f+g\right)}^{p-1}d\mu \\&=\Vert {f{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{1}+\Vert {g{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{1}\\&\leq \Vert {f}\Vert _{p}\cdot \Vert {{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{q}+\Vert {g}\Vert _{p}\cdot \Vert {{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{q}\\&\leq {\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}\Vert {{\left(f+g\right)}^{p-1}}\Vert _{q}\\&={\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}{\left(\int _{X}{\left(f+g\right)}^{(p-1)q}d\mu \right)}^{1/q}\\&={\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}{\left(\int _{X}{\left(f+g\right)}^{p}d\mu \right)}^{(p-1)/p}\\&={\left(\Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\right)}\Vert {f+g}\Vert _{p}^{p-1}.\end{aligned}}

Wir können nun mit ${}\Vert {f+g}\Vert _{p}^{p-1}$ kürzen (wenn diese Zahl gleich ${}0$ ist, stimmt die Aussage sowieso).