Maßraum/p-integrierbar/Identifiziert/Vollständig/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von (Äquivalenzklassen von) ${}p$-integrierbaren Funktionen auf ${}X$, die bezüglich der ${}p$-Norm ${}\Vert {-}\Vert _{p}$ eine Cauchy-Folge bilden. Da wir zu einer Teilfolge übergehen können, können wir (nach neuer Indizierung) annehmen, dass

${}\Vert {f_{n+1}-f_{n}}\Vert _{p}\leq {\frac {1}{2^{n}}}\,$

ist. Wir setzen ${}g_{n}=f_{n+1}-f_{n}$, und es gilt

${}\sum _{n=0}^{\infty }\Vert {g_{n}}\Vert _{p}\leq \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\leq 2\,.$

Nach Fakt konvergiert die Reihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}$ fast überall und bezüglich der ${}p$-Norm gegen eine Funktion ${}g\in {\mathcal {L}}^{p}(X)$. Daher konvergiert die Folge

${}f_{n}=f_{0}+\sum _{i=0}^{n-1}(f_{i+1}-f_{i})=f_{0}+\sum _{i=0}^{n-1}g_{i}\,$

gegen ${}f_{0}+g$ in den beiden beschriebenen Sinnen.

Zur bewiesenen Aussage