Maßtheorie/Diskrete Maße/Einführung/Textabschnitt

Beispiel

Es sei ${}M$ eine Menge und es sei

$b\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto b_{x},$

eine Funktion, die wir Belegungsfunktion nennen. Dann wird für jede Teilmenge ${}T\subseteq M$ durch die Zuordnung

${}\beta (T):=\sum _{x\in T}b_{x}\,$

ein Maß auf ${}(M,{\mathfrak {P}}\,(M))$ definiert. Dabei ist die Summe als der Grenzwert zu interpretieren, falls die Familie ${}b_{x}$, ${}x\in T$, summierbar ist, und andernfalls als ${}\infty$. Dass es sich dabei um ein Maß handelt folgt aus dem großen Umordnungssatz, und zwar gilt die Summationseigenschaft sogar für beliebige disjunkte Vereinigungen, nicht nur für abzählbare. Man spricht von einem Summationsmaß.

Wenn die Belegungsfunktion für jedes ${}x$ einen positiven Wert annimmt, so folgt aus Aufgabe, dass das Maß jeder überabzählbaren Menge den Wert ${}\infty$ zuweist. Wenn andererseits die Belegungsfunktion für jedes ${}x$ den Wert ${}0$ annimmt, so liegt das Nullmaß vor, d.h. jede Menge hat das Maß ${}0$. Insbesondere kann man über diesen Weg kein Maß auf ${}\mathbb {R}$ gewinnen, das zugleich dem Einheitsintervall den Wert ${}1$ und jedem einzelnen Punkt das gleiche Maß zuweist.

Von diesen Summationsmaßen bekommen wiederum einige einen eigenen Namen.

Definition

Auf einer Menge ${}M$ nennt man das auf ${}(M,{\mathfrak {P}}\,(M))$ durch

${}z(T)={\begin{cases}{\#\left(T\right)}\,,{\text{ falls }}T{\text{ endlich}}\,,\\\infty {\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definierte Maß das Zählmaß auf ${}M$.

Das Zählmaß ist das Summationsmaß zur konstanten Belegungsfunktion ${}b=1$.

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}x\in M$ ein Punkt. Das auf ${}(M,{\mathfrak {P}}\,(M))$ durch

${}\delta _{x}(T)={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}x\in T\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definierte Maß heißt das im Punkt ${}x$ konzentrierte Dirac-Maß auf ${}M$.