Maßtheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

  1. Ein Teilmengensystem auf einer Menge heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
    1. Es ist .
    2. Mit gehört auch das Komplement zu .
    3. Für je zwei Mengen ist auch .
  2. Sei ein topologischer Raum. Dann nennt man die von erzeugte -Algebra die Menge der Borel-Mengen von .
  3. Die Abbildung heißt messbar, wenn für jede messbare Menge das Urbild messbar ist.
  4. Eine Folge von Teilmengen , , in mit für alle heißt Ausschöpfung von , wenn gilt.
  5. Es sei eine Menge und eine -Algebra auf . Dann heißt eine Abbildung

    ein Maß auf , wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

    Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen , , aus gilt

  6. Ein Maß auf heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen und alle Vektoren die Gleichheit

    gilt.

  7. Es sei ein -endlicher Maßraum und

    eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt

    das Integral von über (zum Maß ).

  8. Es sei die Menge der Häufungspunkte der Folge . Dann nennt man

    (eventuell ) den Limes inferior der Folge.