Maßtheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$.
   2. Mit ${}T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement ${}M\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
   3. Für je zwei Mengen ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ ist auch ${}S\cup T\in {\mathcal {A}}$.
2. Es sei ${}(M,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die von ${}{\mathcal {T}}$ erzeugte ${}\sigma$-Algebra die Menge der Borel-Mengen von ${}M$.
3. Die Abbildung ${}\varphi$ heißt messbar, wenn für jede messbare Menge ${}T\subseteq N$ das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ messbar ist.
4. Eine Folge von Teilmengen ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, in ${}M$ mit ${}T_{n}\subseteq T_{n+1}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ heißt Ausschöpfung von ${}M$, wenn ${}M=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ gilt.
5. Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {A}}$ eine ${}\sigma$-Algebra auf ${}M$. Dann heißt eine Abbildung

   $\mu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$

   ein Maß auf ${}M$, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

   Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen ${}T_{i}$, ${}i\in I$, aus ${}{\mathcal {A}}$ gilt

   ${}\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}=\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\,.$

6. Ein Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und alle Vektoren ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit

   ${}\mu (T)=\mu (T+v)\,$

   gilt.

7. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt

   ${}\int _{M}f\,d\mu :={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\,$

   das Integral von ${}f$ über ${}M$ (zum Maß ${}\mu$).

8. Es sei ${}H$ die Menge der Häufungspunkte der Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Dann nennt man

   $\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left((x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)}=\inf \,{\left(H\right)}$

   (eventuell ${}-\infty$) den Limes inferior der Folge.

Zur gelösten Aufgabe