Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Kompakte Ausschöpfung/Fakt/Beweis

Beweis

Zu jedem Punkt ${}P\in M$ gibt es eine offene Kartenumgebung ${}P\in U$,

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

sowie Ballumgebungen

${}U{\left(\alpha (P),\epsilon \right)}\subseteq B\left(\alpha (P),\epsilon \right)\subset V\,.$

Wegen der Homöomorphie der Kartenabbildung und der Kompaktheit der abgeschlossenen Bälle ist ${}B_{P}=\alpha ^{-1}{\left(B\left(\alpha (P),\epsilon \right)\right)}$ eine kompakte Teilmenge von ${}M$, die die offene Umgebung ${}U_{P}=\alpha ^{-1}{\left(U{\left(\alpha (P),\epsilon \right)}\right)}$ von ${}P$ umfasst. Die ${}U_{P}$, ${}P\in M$, bilden eine offene Überdeckung von ${}M$, so dass es nach Aufgabe eine abzählbare Teilüberdeckung gibt. Diese sei mit ${}U_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, bezeichnet (wobei die ${}U_{n}$ in den kompakten Teilmengen ${}B_{n}$ liegen). Wir definieren nun rekursiv eine monoton wachsende Abbildung

$\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto n_{k},$

derart, dass

$A_{k}=\bigcup _{n=0}^{n_{k}}B_{n},k\in \mathbb {N} ,$

eine kompakte Ausschöpfung von ${}M$ ist. Als endliche Vereinigungen von kompakten Mengen sind diese ${}A_{k}$ kompakt. Wir beginnen mit ${}n_{0}$. Es sei ${}n_{k}$ schon konstruiert. Die Menge

$A_{k}\cup B_{n_{k}+1}$

ist kompakt und wird daher von endlich vielen offenen Mengen ${}\bigcup _{n=0}^{n_{k+1}}U_{n}$ überdeckt, wobei wir ${}n_{k+1}\geq n_{k}+1$ wählen. Mit dieser Wahl ist

${}A_{k}\subseteq \bigcup _{n=0}^{n_{k+1}}U_{n}\subseteq \bigcup _{n=0}^{n_{k+1}}B_{n}=A_{k+1}\,,$

und diese Folge bildet eine Ausschöpfung, da die ${}U_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine offene Überdeckung von ${}M$ bilden.

Zur bewiesenen Aussage