Zu jedem Punkt
gibt es eine offene Kartenumgebung
,
-
sowie Ballumgebungen
-
![{\displaystyle {}U{\left(\alpha (P),\epsilon \right)}\subseteq B\left(\alpha (P),\epsilon \right)\subset V\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58735c2657e74265d6b74eb14b0d6d3089832f33)
Wegen der
Homöomorphie
der Kartenabbildung und der Kompaktheit der abgeschlossenen Bälle ist
eine
kompakte Teilmenge
von
, die die
offene Umgebung
von
umfasst. Die
,
,
bilden eine
offene Überdeckung
von
, so dass es nach
Aufgabe
eine abzählbare Teilüberdeckung gibt. Diese sei mit
,
,
bezeichnet
(wobei die
in den kompakten Teilmengen
liegen).
Wir definieren nun
rekursiv
eine
monoton wachsende
Abbildung
-
derart, dass
-
eine
kompakte Ausschöpfung
von
ist. Als endliche Vereinigungen von kompakten Mengen sind diese
kompakt. Wir beginnen mit
.
Es sei
schon konstruiert. Die Menge
-
ist
kompakt
und wird daher von endlich vielen offenen Mengen
überdeckt, wobei wir
wählen. Mit dieser Wahl ist
-
![{\displaystyle {}A_{k}\subseteq \bigcup _{n=0}^{n_{k+1}}U_{n}\subseteq \bigcup _{n=0}^{n_{k+1}}B_{n}=A_{k+1}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a220b1183a8dbbb2a04d286779d0cea1734788)
und diese Folge bildet eine Ausschöpfung, da die
,
,
eine offene Überdeckung von
bilden.