Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Horizontaler Schnitt/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei ${}Z$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$\psi \colon Z\longrightarrow X$

eine differenzierbare Abbildung. Ein differenzierbarer Schnitt

$s\colon Z\longrightarrow E$

(über ${}\psi$) heißt horizontal, wenn für jeden Punkt ${}z\in Z$ das Bild ${}T(s)(T_{z}Z)$ ganz im Horizontalbündel ${}H_{s(z)}\subseteq T_{s(z)}E$ enthalten ist.

Es liegt also das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}&&&E\\&&s\nearrow &\downarrow \\&Z&{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}&X\!\\\end{matrix}}$

vor. Statt von einem horizontalen Schnitt spricht man auuch von einer horizontalen Liftung. Das Konzept kann man insbesondere für Schnitte ${}s\colon U\rightarrow E{|}_{U}$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ anwenden.

Lemma

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei.

Dann ist ein stetig differenzierbarer Schnitt ${}s\colon U\rightarrow E{|}_{U}$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ genau dann horizontal, wenn seine vertikale Ableitung ${}\nabla s=0$ ist.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Zu dieser Aussage gibt es eine entsprechende Variante für horizontale Schnitte längs einer Abbildung, siehe Aufgabe.

Definition

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Der Zusammenhang heißt lokal integrabel, wenn es zu jedem Punkt ${}e\in E$ einen auf einer offenen Umgebung ${}p(e)\in U\subseteq X$ definierten horizontalen Schnitt

$s\colon U\longrightarrow E{|}_{U}$

durch ${}e$ gibt.

Den Zusammenhang nennt man global integrabel, wenn es zu jedem ${}e\in E$ einen horizontalen Schnitt auf ganz ${}X$ gibt.