Mannigfaltigkeit mit Rand/Orientierung/Randorientierung/Fakt/Beweis

Beweis

Für jede (orientierte) Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

zu ${}U\subseteq M$ offen wird die induzierte Karte

$U\cap \partial M\longrightarrow V\cap \partial H$

mit der Orientierung durch die äußere Normale auf ${}\partial H$ versehen. Nach Voraussetzung besitzen sämtliche Kartenwechsel zu ${}M$ in jedem Punkt eine positive Fundamentaldeterminante bezüglich der die Orientierungen repräsentierenden Basen, und wir müssen zeigen, dass dies auch für die induzierten Kartenwechsel gilt. Dabei können wir von einem offenen Kartengebiet ${}P\in U\subseteq M$ und zwei Karten

$\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}$

und

$\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}$

ausgehen und die Übergangsabbildung

$\varphi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$

mit offenen Mengen ${}V_{1}\subseteq H_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ und ${}V_{2}\subseteq H_{2}\subset \mathbb {R} ^{n}$ betrachten. Es sei ${}v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}\partial H_{1}$ und ${}v_{1}\in \mathbb {R} ^{n}$ derart, dass ${}v_{1}$ die äußere Normale von ${}H_{1}$ repräsentiert, dass also ${}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ die Orientierung des ${}\mathbb {R} ^{n}$ repräsentiert (es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ die zugehörigen Koordinaten); ebenso sollen ${}w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n}\in H_{2}$ die entsprechenden Eigenschaften erfüllen. Wir schreiben die Fundamentalmatrix von ${}\varphi$ bezüglich dieser Basen hin, also die Matrix mit den Einträgen

${\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}.$

Die Determinante davon ist nach Voraussetzung positiv. Wegen ${}\varphi (\partial H_{1})\subseteq \partial H_{2}$ gilt für einen Punkt ${}Q\in \partial H_{1}$ die Beziehung

${}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}(Q)=0\,$

für ${}j=2,\ldots ,n$. Nach dem Entwicklungssatz hängt daher das Vorzeichen der Determinante der Matrix

${\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}(Q)\right)}_{2\leq i,j\leq n},$

die die Fundamentalmatrix der Übergangsabbildung der Randkarten

$U_{1}\cap \partial H_{1}\longrightarrow U_{2}\cap \partial H_{2}$

(bezüglich der Basen ${}v_{2},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{2},\ldots ,w_{n}$) im Punkt ${}Q$ ist, nur von ${}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}(Q)$ ab. Dabei gilt mit ${}Q=(0,a_{2},\ldots ,a_{n})$ nach Fakt die Beziehung

${}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}(Q)=\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {\varphi _{1}(\epsilon ,a_{2},\ldots ,a_{n})}{\epsilon }}\,.$

Da ${}v_{1}$ die äußere Normale repräsentiert, ist bei negativem (betragsmäßig hinreichend kleinen) ${}\epsilon$ der Vektor mit den Koordinaten ${}(\epsilon ,a_{2},\ldots ,a_{n})\in H_{1}$. Daher muss der Bildvektor zu ${}H_{2}$ gehören und daher ist wiederum ${}\varphi _{1}(\epsilon ,a_{2},\ldots ,a_{n})<0$. Also ist dieser Quotient ${}\geq 0$, was dann auch für den Limes gilt. Da ein Diffeomorphismus vorliegt, muss der Limes sogar positiv sein, woraus die Aussage folgt.

Zur bewiesenen Aussage