Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}{\mathbb {K} }^{n}$ mit der euklidischen Metrik versehen und sei

   $\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m}$

   eine lineare Abbildung. Dann ist ${}\varphi$

   stetig.
2. Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist ${}f$ rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt

   ${}L(f)=\int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt\,.$

3. Für eine kompakte Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist

   ${}\lambda ^{n}(T)=\int _{\varphi ^{-1}(T)}\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

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