Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und

   $h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine Funktion. Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung

   $y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}$

   über die Beziehung ${}v_{i}:=y^{(i)}$ äquivalent zum Differentialgleichungssystem

   ${}{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})\end{pmatrix}}\,.$

2. Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten ${}D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen

   $M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}$

   seien alle von ${}0$ verschieden für ${}k=1,\ldots ,n$. Es sei ${}q$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

   $D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.$

   Dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ

   ${}(n-q,q)$.
3. Es sei ${}I=[a,b]$ ein reelles Intervall und es seien

   $g,h\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   zwei stetige Funktionen mit ${}g(x)\leq h(x)$ für alle ${}x\in [a,b]$. Es sei ${}T$ das durch die beiden zugehörigen Graphen begrenzte Flächenstück über ${}[a,b]$, und es sei

   $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Dann ist

   ${}\int _{T}fd\lambda ^{2}=\int _{a}^{b}{\left(\int _{g(x)}^{h(x)}f(x,y)dy\right)}dx\,.$

Zur gelösten Aufgabe