Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

1. Man sagt, dass ${}\alpha$ aus ${}\Gamma$ ableitbar ist, wenn es endlich viele Ausdrücke ${}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \Gamma$ derart gibt, dass

   $\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \alpha$

   gilt.

2. Die Relation ${}\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
   2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
   3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.
3. Man nennt ${}\alpha$ erfüllbar, wenn es eine ${}S$-Interpretation ${}I$ mit ${}I\vDash \alpha$ gibt.
4. Zwei Elemente ${}m,n\in M$ heißen elementar äquivalent, wenn für jeden Ausdruck ${}\alpha \in L_{1}^{S}$ in der einen freien Variablen ${}x$ und jede Variablenbelegung ${}\lambda$ auf ${}M$ die Beziehung

   $I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha {\text{ genau dann, wenn }}I{\frac {n}{x}}\vDash \alpha$

   gilt.

5. Eine Theorie ${}T\subseteq L_{0}^{S}$ heißt aufzählbar axiomatisierbar, wenn es eine ${}R$-aufzählbare Satzmenge ${}\Gamma \subseteq L_{0}^{S}$ mit ${}T=\Gamma ^{\vdash }$ gibt.
6. Die Gültigkeit in einem modallogischen Rahmen bedeutet, dass für jede Wahrheitsbelegung ${}\mu$

   $(M,R,\mu )\vDash \alpha$

   gilt.

Zur gelösten Aufgabe