Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

1. Ein Wort über dem Alphabet ${}A$ ist eine beliebige endliche Zeichenkette, wobei sämtliche Einzelzeichen zu ${}A$ gehören.
2. Die Relation ${}\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
   2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
   3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.
3. Die ${}S$-Ausdrücke werden folgendermaßen als gültig charakterisiert (dabei seien ${}s,t,t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme und ${}\alpha ,\beta$ Ausdrücke).
   1. ${}I\vDash s=t$, wenn ${}I(s)=I(t)$.
   2. ${}I\vDash Rt_{1}\ldots t_{n}$, wenn ${}(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))\in R^{M}$.
   3. ${}I\vDash \neg {\left(\alpha \right)}$, wenn nicht ${}I\vDash \alpha$ gilt.
   4. ${}I\vDash {\left(\alpha \right)}\wedge {\left(\beta \right)}$, wenn ${}I\vDash \alpha$ und ${}I\vDash \beta$ gilt.
   5. ${}I\vDash {\left(\alpha \right)}\rightarrow {\left(\beta \right)}$, wenn die Gültigkeit ${}I\vDash \alpha$ die Gültigkeit ${}I\vDash \beta$ impliziert.
   6. ${}I\vDash \exists x\alpha$, wenn es ein ${}m\in M$ gibt mit ${}I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha$.
   7. ${}I\vDash \forall x\alpha$, wenn für alle ${}m\in M$ die Beziehung ${}I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha$ gilt.
4. Die Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   heißt ${}S$-Homomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten.

   1. Für jede Konstante ${}c\in S$ ist

      ${}\varphi (c^{M})=c^{N}\,.$

   2. Für jedes ${}n$-stellige Funktionssymbol ${}f\in S$ ist

      ${}\varphi (f^{M}(m_{1},\ldots ,m_{n}))=f^{N}(\varphi (m_{1}),\ldots ,\varphi (m_{n}))\,$

      für alle ${}m_{1},\ldots ,m_{n}\in M$.

   3. Für jedes ${}n$-stellige Relationsymbol ${}R\in S$ impliziert die Gültigkeit von

      $R^{M}(m_{1},\ldots ,m_{n})$

      die Gültigkeit von

      $R^{N}(\varphi (m_{1}),\ldots ,\varphi (m_{n})).$

5. Die Multiplikation mit ${}n$ ist diejenige aufgrund von Fakt eindeutig bestimmte Abbildung

   $\mu _{n}\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto \mu _{n}(k),$

   für die

   $\mu _{n}(0)=0{\text{ und }}\mu _{n}(k')=\mu _{n}(k)+n{\text{ für alle }}k\in \mathbb {N}$

   gilt.

6. Man sagt, dass ein modallogischer Ausdruck ${}\alpha$ aus dem ${}K$-System ableitbar ist, wenn sich ${}\alpha$ aus aussagenlogischen Tautologien und aus Instanzen des ${}K$-Axioms mit Hilfe des Modus ponens oder der Nezessisierungsregel ergibt.

Zur gelösten Aufgabe