Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}S$ ${}S$ ein Symbolalphabet erster Stufe und ${}U\subseteq S$ ${}U\subseteq S$ eine Teilmenge. Es sei ${}t$ ${}t$ ein ${}U$ ${}U$ -Term und ${}\alpha$ ${}\alpha$ ein ${}U$ ${}U$ -Ausdruck. Es seien zwei ${}S$ ${}S$ -Interpretationen ${}I_{1}$ ${}I_{1}$ und ${}I_{2}$ ${}I_{2}$ in einer gemeinsamen Grundmenge ${}M$ ${}M$ gegeben, die auf ${}U$ ${}U$ identisch seien. Dann gelten folgende Aussagen.
1. Es ist ${}I_{1}(t)=I_{2}(t)$ .
2. Es ist ${}I_{1}\vDash \alpha$ genau dann, wenn ${}I_{2}\vDash \alpha$ .
In einem Peano-Halbring ${}M$ gilt für jedes ${}x\in M$ die Eigenschaft: Entweder ist ${}x=0$ oder es gibt ein ${}u\in M$ mit ${}x=u+1$ .
Die Menge
${\left\{n\in \mathbb {N} \mid n{\text{ ist die Nummer eines Registerprogramms }}P{\text{ und }}P(0){\text{ hält an}}\right\}}$

ist nicht
${}R$ -entscheidbar.