Mersenne Zahlen zu Germain Primzahlen/q als Primteiler/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist ${}q=2p+1$ ein Teiler von ${}M_{p}=2^{p}-1$ genau dann, wenn ${}2^{p}=1$ in ${}\mathbb {Z} /(q)$ ist. Wegen ${}p={\frac {q-1}{2}}$ ist dies nach dem Euler-Kriterium genau dann der Fall, wenn ${}2$ ein Quadratrest modulo ${}q$ ist. Dies ist nach dem zweiten Ergänzungssatz genau bei ${}q=\pm 1\mod 8$ der Fall.

Zur bewiesenen Aussage