Messbare numerische Funktion/Charakterisierung mit Urbilder von halbseitigen Intervallen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Bedingungen (2), (3), (4), (5) sind jeweils notwendig, da halbseitig unbeschränkte Intervalle Borel-Mengen von ${}{\overline {\mathbb {R} }}$ sind.
Ist umgekehrt eine der Bedingungen (2), (3), (4) oder (5) erfüllt, so betrachtet man für ${}a<b$ die Menge ${}{[a,b[}=[a,\infty ]\setminus [b,\infty ]$ (unter Bedingung (2) bzw. entsprechende Mengen unter den anderen Bedingungen). Nach Voraussetzung sind dann auch die Urbilder von diesen halboffenen Intervallen messbare Teilmengen in ${}M$. Da die halboffenen Intervalle nach Fakt ein Erzeugendensystem der Borel-Mengen von ${}\mathbb {R}$ bilden, folgt die Aussage aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage