Metrischer Raum/Abzählbare Basis/Dichte Teilmenge/Fakt/Beweis

Beweis

Der metrische Raum sei . Es sei zuerst , , eine Basis der Topologie. Wir wählen Punkte und behaupten, dass dies eine dichte Teilmenge ist. Sei und sei eine offene Umgebung. Dann ist

und daher befinden sich auch die Punkte in dieser Umgebung. Es sei nun umgekehrt , eine dichte Teilmenge. Es ist dann auch die Menge der offenen Bälle , , abzählbar. Sei und sei eine offene Umgebung und sei . Wegen der Dichtheit gibt es einen Punkt mit

Dann ist .