Metrischer Raum/Stetige Abbildung/Grenzwert/Fortsetzung/Aufgabe/Lösung

Wir setzen zunächst voraus, dass der Grenzwert existiert. In diesem Fall definieren wir die Fortsetzung durch

${}{\tilde {f}}(a):=\operatorname {lim} _{x\in T,\,x\rightarrow a}\,f(x)\,$

und müssen zeigen, dass dies stetig ist. Für ${}x\in T$ ist die Abbildung nach wie vor stetig, da sich die Abbildung in einer offenen Umgebung von ${}x$ nicht ändert. Im Punkt ${}a$ stimmt die Definition der Grenzwerteigenschaft mit der ${}\epsilon -\delta$-Definition der Stetigkeit überein mit dem einzigen Unterschied, dass diese sich auch auf den Punkt ${}a$ bezieht, in diesem Punkt ist aber die Abstandsbedingung trivialerweise erfüllt.

Wenn ${}{\tilde {f}}$ eine stetige Fortsetzung ist, so ist

${}b:={\tilde {f}}(a)\,$

der Grenzwert von ${}f$ in ${}a$ sein.

Zur gelösten Aufgabe