Metrischer Raum/Stetige Abbildung/Grenzwert/Fortsetzung/Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Es sei

$f\colon T\longrightarrow L$

eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$ und sei ${}a\in M$, ${}a\notin T$, ein Punkt, der ein Berührpunkt von ${}T$ sei. Zeige, dass der Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\in T,\,x\rightarrow a}\,f(x)$

genau dann existiert, wenn ${}f$ eine stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon T\cup \{a\}\longrightarrow L$

besitzt.

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