Minimalpolynom/Diagonalmatrix/Verschiedene Einträge/Beispiel

Zu einer Diagonalmatrix

$M={\begin{pmatrix}d_{1}&0&\cdots &0\\0&d_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}$

mit verschiedenen Einträgen ${}d_{i}$ ist das Minimalpolynom gleich

${}P=(X-d_{1})(X-d_{2})\cdots (X-d_{n})\,.$

Dieses Polynom geht unter der Einsetzung auf

$(M-d_{1}E_{n})\circ (M-d_{2}E_{n})\circ (M-d_{n}E_{n}).$

Wenden wir darauf den Standardvektor ${}e_{i}$ an, so wird er von dem Faktor ${}(M-d_{j}E_{n})$ auf ${}(d_{i}-d_{j})e_{i}$ abgebildet. Der ${}i$-te Faktor sichert also, dass ${}e_{i}$ insgesamt annulliert wird. Da somit eine Basis durch ${}P(M)$ auf ${}0$ abgebildet wird, muss es sich insgesamt um die Nullabbildung handeln.

Angenommen, ${}P$ wäre nicht das Minimalpolynom ${}\mu$. Dann gibt es nach Fakt ein Polynom ${}Q$ mit

${}P=Q\mu \,$

und nach Fakt muss ${}\mu$ ein Teilprodukt der Linearfaktoren von ${}P$ sein. Sobald man aber einen Faktor von ${}P$ weglässt, sagen wir ${}X-d_{i}$, so wird ${}e_{i}$ durch die zugehörige Abbildung nicht mehr annulliert.