Modallogik/K/Untypische Systeme/Textabschnitt

Wir besprechen einige modallogischen Axiomenschemata, die über das ${}K$-System hinausgehen. Die inhaltliche Relevanz der Systeme ist sehr unterschiedlich. Wenn aus einem modallogischen Axiomensystem ${}\Gamma$ ein modallogischer Ausdruck ${}\alpha$ mit Modus ponens und der Nezessisierungsregel ableitbar ist, so schreiben wir dafür ${}\Gamma \vdash \alpha$. Im modallogischen Kontext bedeutet ${}\vdash \alpha$ die Ableitbarkeit im ${}K$-System.

Definition

Das modallogische Axiomenschema

$\Box \alpha$

nennt man Leerheitsaxiom.

Dies ergibt keine interessante Modallogik, da einfach jede Aussage der Form ${}\Box \alpha$ gilt, auch dann, wenn ${}\alpha$ eine Kontradiktion ist, und jede Aussage der Form ${}\Diamond \alpha$ nicht gilt.

Definition

Das modallogische Axiomenschema

$\Box \alpha \rightarrow \Diamond \alpha$

nennt man Möglichkeitsaxiom.

Dies bedeutet also ${}\Diamond \alpha \vee \Diamond \neg \alpha$, es muss also die Aussage oder ihre Negation möglich sein, oder beides. Man spricht auch vom Seriellitätsaxiom oder ${}D$-Axiom. Die Bezeichnung ${}D$ kommt von deontisch. Was verpflichtend ist, sollte insbesondere erlaubt sein.

Definition

Das modallogische Axiomenschema

$\Diamond \alpha \rightarrow \Box \alpha$

nennt man Phantasiearmutsaxiom.

Das Möglichkeitsaxiom bedeutet, dass es mindestens eine Vorstellungswelt gibt und das Phantasiearmutsaxiom bedeutet, dass es höchstens eine Vorstellungswelt gibt. Solche Charakterisierungen werden wir später im Rahmen der semantischen Interpretation mit gerichteten Graphen präzisieren.

Definition

Das modallogische Axiomenschema

$\Diamond \alpha \leftrightarrow \Box \alpha$

nennt man Ideologieaxiom.

In einer Ideologie stellt man sich genau eine Welt vor, die im Allgemeinen mit der Realität nichts zu tun hat.

Lemma

Für eine ${}K$-Modallogik ${}\Gamma$ sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. Es gilt das Phantasiearmutsaxiom.
2. Es gilt die Umkehrung des ${}K$-Axioms, also

   $\Gamma \vdash (\Box \alpha \rightarrow \Box \beta )\rightarrow \Box (\alpha \rightarrow \beta ).$

3. Es gilt das Axiomenschema

   $\Gamma \vdash \Diamond \alpha \wedge \Diamond \beta \rightarrow \Diamond (\alpha \wedge \beta ).$

Beweis

Von (1) nach (2). Aus den aussagenlogischen Tautologien

$\vdash \beta \rightarrow (\alpha \rightarrow \beta )$

und

$\vdash \neg \alpha \rightarrow (\alpha \rightarrow \beta )$

ergeben sich mit Fakt  (1) die Ableitungen

$\vdash \Box \beta \rightarrow \Box (\alpha \rightarrow \beta )$

und

$\vdash \Box \neg \alpha \rightarrow \Box (\alpha \rightarrow \beta ).$

Das Phantasiearmutsaxiom liefert

$\Gamma \vdash \Diamond \neg \alpha \rightarrow \Box \neg \alpha$

und über den Kettenschluss

$\Gamma \vdash \Diamond \neg \alpha \rightarrow \Box (\alpha \rightarrow \beta ).$

Daher gilt

$\Gamma \vdash (\Diamond \neg \alpha \vee \Box \beta )\rightarrow \Box (\alpha \rightarrow \beta ),$

was eben

$\Gamma \vdash (\Box \alpha \rightarrow \Box \beta )\rightarrow \Box (\alpha \rightarrow \beta )$

bedeutet.

Von (2) nach (1). Aus der aussagenlogischen Tautologie

$\vdash (\alpha \rightarrow \neg \alpha )\rightarrow \neg \alpha$

ergibt sich mit Fakt  (1) direkt

$\vdash \Box (\alpha \rightarrow \neg \alpha )\rightarrow \Box \neg \alpha .$

Die Umkehrung des ${}K$-Axioms mit ${}\beta =\neg \alpha$ liefert

$\Gamma \vdash (\Box \alpha \rightarrow \Box \neg \alpha )\rightarrow \Box (\alpha \rightarrow \neg \alpha ).$

Eine einfache aussagenlogische Überlegung zeigt ferner

$\vdash \Diamond \neg \alpha \rightarrow (\Box \alpha \rightarrow \Box \neg \alpha ).$

Der doppelte Kettenschluss liefert

$\Gamma \vdash \Diamond \neg \alpha \rightarrow \Box \neg \alpha .$

Da diese Beziehung für jedes ${}\neg \alpha$ gilt, gilt es nach Fakt  (5) überhaupt für jede Aussage.

Aus (1) folgt (3). Das ${}K$-Axiom liefert

$\vdash \Box (\alpha \rightarrow \neg \beta )\rightarrow (\Box \alpha \rightarrow \Box \neg \beta )$

und das Phantasiearmutsaxiom liefert

$\Gamma \vdash \Diamond \alpha \rightarrow \Box \alpha .$

Dies zusammen ergibt

$\Gamma \vdash \Box (\alpha \rightarrow \neg \beta )\rightarrow (\Diamond \alpha \rightarrow \Box \neg \beta ).$

Wir schreiben dies als

$\Gamma \vdash \Box (\neg \alpha \vee \neg \beta )\rightarrow (\neg \Diamond \alpha \vee \Box \neg \beta ).$

Durch Kontraposition bedeutet dies

$\Gamma \vdash (\Diamond \alpha \wedge \neg \Box \neg \beta )\rightarrow \Diamond (\alpha \wedge \beta ).$

Von (3) nach (1). Wir betrachten den Spezialfall

$\Gamma \vdash \Diamond \alpha \wedge \Diamond \neg \alpha \rightarrow \Diamond (\alpha \wedge \neg \alpha ).$

Durch Kontraposition ist dies

$\Gamma \vdash \Box \neg (\alpha \wedge \neg \alpha )\rightarrow \neg (\Diamond \alpha \wedge \Diamond \neg \alpha )$

und durch eine aussagenlogische Umstellung

$\Gamma \vdash \Box (\neg \alpha \vee \alpha )\rightarrow (\neg \Diamond \alpha \vee \neg \Diamond \neg \alpha ).$

Aus der aussagenlogischen Tautologie

$\vdash \neg \alpha \vee \alpha$

folgt mit der Nezessisierungsregel

$\vdash \Box (\neg \alpha \vee \alpha )$

und somit

$\Gamma \vdash \neg \Diamond \alpha \vee \neg \Diamond \neg \alpha$

mit Modus ponens. Dies bedeutet

$\Gamma \vdash \Diamond \alpha \rightarrow \Box \alpha .$

$\Box$