Modallogik/Möglichkeitsaussage/Weltrealisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Menge

${}V'={\left\{\beta \mid \Box \beta \in W\right\}}\cup \{\alpha \}\,,$

die ${}\Gamma$ umfasst, da ${}\Gamma$ unter der Nezessisierungsregel abgeschlossen ist. Wir behaupten, dass diese Menge widerspruchsfrei ist. Andernfalls würde es endliche viele ${}\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}$ mit ${}\Box \beta _{i}\in W$ geben mit

$\vdash \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow (\alpha \rightarrow (p\wedge \neg p)).$

Dies schreiben wir als

$\vdash \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow (\neg (p\wedge \neg p)\rightarrow \neg \alpha ).$

Nach Fakt ist dann auch

$\vdash \Box \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \Box \beta _{n}\rightarrow \Box (\neg (p\wedge \neg p)\rightarrow \neg \alpha ).$

Wegen des ${}K$-Axioms ist

$\vdash \Box (\neg (p\wedge \neg p)\rightarrow \neg \alpha )\rightarrow (\Box \neg (p\wedge \neg p)\rightarrow \Box \neg \alpha )$

und somit

$\vdash \Box \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \Box \beta _{n}\rightarrow (\Box (p\vee \neg p)\rightarrow \Box \neg \alpha ).$

Da der Vordersatz zu ${}W$ gehört, und ${}W$ abgeschlossen unter Implikationen ist, ist auch

$\Box (p\vee \neg p)\rightarrow \Box \neg \alpha \in W.$

Da ${}p\vee \neg p$ eine Tautologie ist und wegen der Nezessisierungsregel (die ja für Tautologien gilt) ergibt sich

${}\Box \neg \alpha \in W\,,$

was ein Widerspruch zu ${}\Diamond \alpha \in W$ angesichts der Widerspruchsfreiheit von ${}W$ ist.

Somit ist ${}V'$ widerspruchsfrei. Sei ${}V'\subseteq V$ eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge von ${}L$, die es nach Fakt gibt. Es sei ${}\beta \in V$. Dann ist ${}\Diamond \beta \in W$. Andernfalls wäre nämlich wegen der Maximalität (von ${}W$) ${}\Box \neg \beta \in W$, doch dann wäre ${}\neg \beta \in V'\subseteq V$. Es gilt also ${}WRV$.

Zur bewiesenen Aussage