Modallogik/T und Transitivitätsaxiom/Antifixpunkt/Widerspruchsfreiheit impliziert Unableitbarkeit/Aufgabe/Lösung

Aus der Fixpunkteigenschaft

$M\vdash \neg \Box s\leftrightarrow s$

ergibt sich insbesondere

$M\vdash \Box s\rightarrow \neg s.$

Mit Fakt  (1) folgt

$M\vdash \Box \Box s\rightarrow \Box \neg s.$

Mit dem Transitivitätsaxiom und dem Kettenschluss folgt

$M\vdash \Box s\rightarrow \Box \neg s.$

Dies zusammen mit der Tautologie

$\vdash \Box s\rightarrow \Box s$

ergibt

$\vdash \Box s\rightarrow \Box s\wedge \Box \neg s.$

Mit Fakt  (4) haben wir

$M\vdash \Box s\wedge \Box \neg s\rightarrow \Box (s\wedge \neg s)$

und somit

$M\vdash \Box s\rightarrow \Box (s\wedge \neg s).$

Für ein beliebiges ${}p$ ist nun

$\vdash s\wedge \neg s\rightarrow p\wedge \neg p$

und somit durch Fakt  (1)

$M\vdash \Box (s\wedge \neg s)\rightarrow \Box (p\wedge \neg p)$

und insgesamt

$M\vdash \Box s\rightarrow \Box (p\wedge \neg p),$

was durch Kontraposition die Behauptung ergibt.

Zur gelösten Aufgabe