Modul/Komplettierung/Funktorialität/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein ${}R$ -Modulhomomorphismus.

Dann gibt es einen natürlichen ${}{\hat {R}}$ -Modulhomomorphismus

${\hat {\varphi }}\colon {\hat {M}}\longrightarrow {\hat {N}},$

wobei alle Komplettierungen bezüglich des gegebenen Ideals zu verstehen sind.