Modul/Komplettierung/Funktorialität/Fakt/Beweis

Beweis

Zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ gibt es natürliche ${}R/{\mathfrak {a}}^{n}$-Modulhomomorphismen

$\varphi _{n}\colon M/{\mathfrak {a}}^{n}M\longrightarrow N/{\mathfrak {a}}^{n}N,$

da ja ${}{\mathfrak {a}}^{n}M$ unter ${}\varphi$ nach ${}{\mathfrak {a}}^{n}N$ abgebildet wird. Dies ergibt einen Gruppenhomomorphismus

${\hat {M}}\longrightarrow {\hat {N}}.$

Dieser respektiert die in Fakt beschriebene Modulstruktur.

Zur bewiesenen Aussage