Modultheorie/Hauptidealbereiche/Endlicher Modul/Direkte Summe zyklischer Moduln/Fakt/Beweis

Beweis

Der Torsionsuntermodul hat als endlicher Torsionsmodul einen nichttrivialen Annullator. Daher besitzt er nach Fakt eine direkte Summenzerlegung in zyklische Moduln.

Der Restklassenmodul ist endlich und torsionsfrei und daher nach Fakt frei. Als freier Modul besitzt er eine Basis und die Basiselemente erzeugen zyklische Untermoduln, als deren direkte Summe sich darstellen lässt.

Es bleibt also nur zu zeigen:

Es sei dazu . ist ein freier Modul, daher gibt es eine Basis , die durch nichtannullierbare Elemente repräsentiert wird.

Es sei nun und . Dann gibt es nach Definition der Restklasse genau ein mit . Weil es auch umgekehrt für jedes Paar aus und genau ein gibt, ist die Summenzerlegung direkt.