Monoidring/Graduierung von KUV durch pm1/Nicht fixpunktfrei/Fundamentalgruppe/Beispiel

Wir betrachten die durch

$\delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)=:D$

mit

$\delta (e_{1})=(1,0),\,\delta (e_{2})=(0,1)$

festgelegte Graduierung auf ${}{\mathbb {C} }[U,V]$. Die zugehörige lineare Operation auf dem ${}{\mathbb {C} }^{2}$ ist durch die Matrizen

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

gegeben. Die beiden mittleren Matrizen besitzen jeweils eine Fixgerade, daher ist die Operation auf ${}{\mathbb {C} }^{2}\setminus \{0\}$ nicht frei. Die Operation auf ${}X={\mathbb {C} }^{2}\setminus Z$, wobei ${}Z={\mathbb {C} }e_{1}\cup {\mathbb {C} }e_{2}$ das Achsenkreuz bezeichnet, ist frei, doch besitzt ${}Z$ die Kodimension ${}1$ in der Ebene. Der Invariantenring ist ${}{\mathbb {C} }[U^{2},V^{2}]$, ein Polynomring in zwei Variablen, Fakt ist in diesem Fall nicht anwendbar.