Monom/XYZ/Ableitung/Hesse-Form/Typ/Aufgabe/Lösung

1. Die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ in ${}\left(x,\,y,\,z\right)$ ist

   $\left(yz,\,xz,\,xy\right).$

2. Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn alle drei partiellen Ableitungen ${}0$ sind. Bei

   ${}x\neq 0\,$

   muss

   ${}y=z=0\,$

   sein, dass ist die ${}x$-Achse. Wegen der Symmetrie der Situation sind also die kritischen Punkte genau die Punkte der drei Raumachsen.

3. Die Hesse-Matrix zu ${}\varphi$ in ${}\left(x,\,y,\,z\right)$ ist

   ${\begin{pmatrix}0&z&y\\z&0&x\\y&x&0\end{pmatrix}}.$

4. Die Hesse-Matrix zu ${}\varphi$ in ${}\left(1,\,1,\,1\right)$ ist

   ${\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}.$

   Das charakteristische Polynom davon ist

   ${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}t&-1&-1\\-1&t&-1\\-1&-1&t\end{pmatrix}}&=t(t^{2}-1)-t-1-(1+t)\\&=t^{3}-3t-2\\&=(t-2)(t^{2}+2t+1)\\&=(t-2)(t+1)^{2}.\end{aligned}}$

   Der Eigenraum zum Eigenwert ${}2$ ist ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$. Der Eigenraum zum Eigenwert ${}-1$ ist

   ${}\operatorname {kern} {\begin{pmatrix}-1&-1&-1\\-1&-1&-1\\-1&-1&-1\end{pmatrix}}=\left(-1,\,-1,\,-1\right)^{\perp }=\langle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\rangle \,.$

5. Nach Teil (4) und dem Eigenwertkriterium ist der Typ der Hesse-Form zu ${}\varphi$ im Punkt ${}\left(1,\,1,\,1\right)$ gleich ${}(1,2)$.

Zur gelösten Aufgabe