Monomiale ebene Kurven/Multiplizität/Textabschnitt

Ebene monomiale Kurven und Multiplizität

Proposition

Es sei ${}t\rightarrow (t^{e_{1}},t^{e_{2}})=(x,y)$ eine ebene monomiale Kurve (mit ${}e_{1},e_{2}$ teilerfremd) mit Bildkurve ${}C=V(X^{e_{2}}-Y^{e_{1}})$.

Dann ist die Multiplizität im Nullpunkt gleich ${}\min(e_{1},e_{2})$.

Genau dann ist der Nullpunkt singulär, wenn ${}\min(e_{1},e_{2})\geq 2$ ist.

Die einzige Tangente im Nullpunkt erhält man, wenn man die Variable mit dem kleineren Exponenten gleich null setzt. In allen anderen Punkten ist ${}C$ glatt.

Beweis

Gleichheit der Exponenten ist nur bei ${}e_{1}=e_{2}=1$ möglich, wo die Aussage klar ist. Es sei also ohne Einschränkung ${}d=e_{1}>e_{2}=m$. Dann ist die homogene Zerlegung der Kurvengleichung ${}F$ einfach ${}F=X^{d}-Y^{m}$, und die Aussagen über den Nullpunkt folgen. Die partiellen Ableitungen sind $dX^{d-1}$ und $mY^{m-1}$, die nur im Nullpunkt verschwinden können, an allen anderen Punkten nicht, da (selbst bei positiver Charakteristik) nicht sowohl ${}d$ als auch ${}m$ in ${}K$ null sein können.

$\Box$

Die vorstehende Aussage hat direkt mit der früher bewiesenen Fakt zu tun, dass für eine monomiale Kurve ${}C=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}$ die durch ${}M\subseteq \mathbb {N}$ gegebene monomiale Abbildung die Normalisierung ist, und dass diese außerhalb des Nullpunktes eine Isomorphie ist, im Nullpunkt aber nicht, außer wenn ${}e_{i}=1$ ist für ein ${}i$.

Bemerkung  

Die Aussage impliziert insbesondere, dass eine ebene monomiale Kurve nur dann glatt ist, wenn das Minimum der beiden Exponenten ein ist, wenn also die Kurve durch eine Gleichung ${}Y-X^{d}=0$ beschrieben wird. In diesem Fall liegt dann sogar eine affine Gerade vor, wegen der natürlichen Identifizierung ${}K[X,Y]/(Y-X^{d})\cong K[X]$.