Noetherscher Integritätsbereich/Zerlegung in irreduzible Elemente/Fakt/Beweis

Beweis

Nehmen wir an, dass es eine Nichteinheit gibt, für die es keine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt. Dann ist insbesondere nicht irreduzibel und somit gibt es eine Zerlegung , bei der die Faktoren keine Einheiten sind. Nach Voraussetzung besitzt zumindest ein Faktor, sagen wir , keine Zerlegung in irreduzible Faktoren. Dabei gilt

wobei die Inklusion echt ist, da andernfalls eine Einheit wäre. So fortfahrend kann man eine unendliche Kette von Hauptidealen

konstruieren. Dies widerspricht aber Fakt.