Noetherscher Integritätsbereich/Zerlegung in irreduzible Elemente/Fakt/Beweis

Beweis

Nehmen wir an, dass es eine Nichteinheit ${}f\neq 0$ gibt, für die es keine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt. Dann ist insbesondere ${}f$ nicht irreduzibel und somit gibt es eine Zerlegung ${}f=f_{1}g_{1}$, bei der die Faktoren keine Einheiten sind. Nach Voraussetzung besitzt zumindest ein Faktor, sagen wir ${}f_{1}$, keine Zerlegung in irreduzible Faktoren. Dabei gilt

${}(f)\subset {\left(f_{1}\right)}\,,$

wobei die Inklusion echt ist, da andernfalls ${}g_{1}$ eine Einheit wäre. So fortfahrend kann man eine unendliche Kette von Hauptidealen

${}(f)\subset {\left(f_{1}\right)}\subset {\left(f_{2}\right)}\subset \ldots \,$

konstruieren. Dies widerspricht aber Fakt.

Zur bewiesenen Aussage