Normale endliche Körpererweiterung/Konjugierte Elemente und Automorphismus/Fakt/Beweis
Beweis
Wenn es einen -Automorphismus mit
gibt, so induziert dieser einen Isomorphismus
.
Da diese erzeugten Unterkörper jeweils durch die Minimalpolynome von
bzw.
festgelegt sind, müssen die Minimalpolynome übereinstimmen. Also sind
und
konjugiert.
Wenn umgekehrt die beiden Elemente konjugiert sind, so gibt es einen -Isomorphismus
.
Mit der Inklusion
führt dies zu einem -Homomorphismus
![{\displaystyle {}K[\alpha ]\rightarrow K[\beta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cec1fe850b6e39435c93547f935086a81d3a74)
![{\displaystyle {}K[\beta ]\subseteq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20cc249346c35b320932a59248bec0577a416e36)
![{\displaystyle K[\alpha ]\longrightarrow L,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc5b9df2594319246ab4efbcaedc7068a6f25130)
den man nach
Fakt
zu einem Automorphismus auf fortsetzen kann.
