Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt direkt aus
Fakt.
Von (2) nach (3). Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte kommutative Gruppen
ist
-
daher ist
-
Die zur Graduierung
gemäß Fakt
gehörende Gruppenoperation der Charaktergruppe ist für durch
-
festgelegt. Mit
-
und
-
(beides entsprechend der Produktzerlegung von bzw. von )ist
-
Es liegt also die im Satz beschriebene Form der Operation vor. Aufgrund der Voraussetzung an den Körper sind die Bedingungen von
Fakt
erfüllt, also ist die neutrale Stufe der Invariantenring.
Nach Fakt
ist die Operation
treu.
(3) nach (2). Es sei die Operation mit den Daten gegebenen. Wir setzen
-
und definieren einen
Gruppenhomomorphismus
durch . Die Gruppenoperation der durch gegebenen Graduierung ist gerade die vorgegebene Operation. Diese Aussage folgt somit aus
Fakt.
Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar.