Normierte Räume/Kompakter Operator/Charakterisierung/Fakt

Es seien ${}V,W$ normierte ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume und sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist kompakt.
2. Das Bild der (offenen oder abgeschlossenen) Einheitskugel von ${}V$ ist relativ kompakt in ${}W$.
3. Jede beschränkte Folge in ${}V$ besitzt eine Teilfolge, deren Bildfolge in ${}W$ konvergiert.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen