Normierter Vektorraum/Limes einer Abbildung/Komponentenweise/Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei ${}a\in M$ ein Berührpunkt von ${}T$. Es sei

$f\colon T\longrightarrow V$

eine Abbildung in einen endlichdimensionalen normierten Vektorraum ${}V$ mit den Komponentenfunktionen

$f_{1},\ldots ,f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

bezüglich einer Basis von ${}V$. Zeige, dass der Limes

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$

genau dann existiert, wenn sämtliche Limiten

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f_{j}(x)$

existieren.

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