Normierter Vektorraum/Limes einer Abbildung/Komponentenweise/Aufgabe

Es sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es sei

eine Abbildung in einen endlichdimensionalen normierten Vektorraum mit den Komponentenfunktionen

bezüglich einer Basis von . Zeige, dass der Limes

genau dann existiert, wenn sämtliche Limiten

existieren.